物理复习

# 运动和力

• 角加速度: $\beta = \frac{d \omega}{d t}=\frac{d^2 \theta}{d t^2}$
• 切向加速度:
  • $\vec{a_t}=\frac{dv}{dt} \vec{e_t}$
  • $a_t=\frac{dv}{dt}=R\frac{d\omega}{dt}=R\beta$
• 法向加速度:
  • $\vec{a_n}=\frac{dv^2}{R} \vec{e_n}$
  • $a_n=\frac{v^2}{R}=\omega v=\omega ^2 R$
• 牛顿第二定律: $\vec{F_{合}}=m\vec{a}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

# 运动的守恒量和守恒定律

• 动量定理: $I = \int _{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \vec {p_2}-\vec{p_1}$
• 平均冲力: $\bar{\vec{F}}=\frac{\int _{t_1}^{t_2} \vec{F} dt}{t_2-t_1}=\frac{m\vec{v_2}-m\vec{v_1}}{t_2-t_1}$
• 角动量: $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$
• 力矩: $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$
• 质点（系）角动量定理: $\vec{M}=\frac{d \vec{L}}{dt}$
• 角动量守恒定律: $\vec{L}=常量(\vec{M}=0)$
• 功: $A=\int_a^b \vec{F} \cdot d\vec{r}$
• 质点系的动能定理: $A_外+A_内=\Delta E_k$
• 质点系的功能原理: $A_外+A_{非保内}=\Delta E$
• 机械能守恒定律（条件: $A_外+A_{非保内}=0$）: $E=E_k+E_p=常量$

# 刚体的运动

• 对定轴的力矩: $M_Z=rF_\perp sin\varphi$
• 定轴转动定律: $M_Z=J\alpha=J\frac{d\omega}{dt}$
• 转动惯量:
  • $J=\sum\limits_{i} \Delta m_i r_i^2$
  • $J=\int r^2 dm$
• 力矩的功: $A=\int_{\theta_0}^\theta Md\theta$
• 刚体的转动动能: $E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$
• 刚体的重力势能: $E_p=mgh_c$
• 定轴转动的机械能: $E=E_k+E_p=\frac{1}{2}J\omega^2+mgh_c$
• 绕定轴的角动量: $L_Z=J\omega$
• 角动量定理: $\int_{t_1}^{t_2}M_Z dt=J\omega_2-J\omega_1$
• 角动量守恒定律: $M_Z=0,L_Z=J\omega=J\omega_0=常量$

# 相对论基础

• 洛伦兹变换: $\begin{cases}x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\\ y'=y\\\ z'=z\\\ t'=\frac{t-\frac{ux}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{cases}$
• 相对论速度变换关系: $\begin{cases}v'_x=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\\\ v'_y=\frac{v_y\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\\\ v'_z=\frac{v_z\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{uv_x}{c^2}}\end{cases}$
• 时间延缓（运动时大于固有时）: $t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$
• 长度收缩（运动长度小于固有长度）: $l=l_0\sqrt{1-\beta^2}$
• 质速关系: $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
• 相对论动量: $\vec{p}=m\vec{v}=\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$
• 动力学方程: $\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}})$
• 质量和能量的关系: $E_0=m_0c^2,E=mc^2$
• 动能: $E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)$
• 动量和能量的关系: $E^2=c^2p^2+E_0^2=c^2p^2+m_0^2c^4$

# 机械振动

• 表达式: $x=Acos(\omega x+\varphi_0),\space\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
• 单摆: $T=2\pi\sqrt{\frac{g}{l}}$
• 复摆: $T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgh}}$
• 机械能守恒: $E=\frac{1}{2}kA^2$

# 机械波

• 角频率: $\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}$
• 波速: $u=\frac{\lambda}{T}=\nu\lambda$
• 波函数建立方法:
  1. 建立坐标系，写出已知点 O 的振动方程: $y_O=Acos(\omega t+\varphi)$
  2. 求出波线上任一点 P 的振动方程: $y_P=Acos[\omega (t\pm\Delta t)+\varphi]$
  3. 写出平面简谐波的波函数: $y(x,t)=Acos[\omega (t\pm\frac{x}{u})+\varphi_0]$
• 波动表达式: $y(x,t)=Acos(\omega t \pm \frac{2\pi}{\lambda}x+\varphi)$
• 线元的动能: $\Delta E_k=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x\omega^2A^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]$
• 线元的势能: $\Delta E_p=\frac{1}{2}\rho_l\Delta x\omega^2A^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]$
• 波的能量: $\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=\rho_l\Delta x\omega^2A^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi]$
• 平均能量密度: $\bar{w}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2$
• 能流强度: $\vec{I}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2\vec{u}$
• 波的干涉:
  • P 点的相位差: $\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-2\pi(\frac{r_2-r_1}{\lambda})=\begin{cases} 2k\pi &A_{max}=A_1+A_2(加强)\\\ 其它 &A_{min}<A<A_{max}\\\ (2k+1)\pi &A_{min}=|A_1-A_2|(减弱) \end{cases}\ (k=0,\pm1,\pm2,\ldots)$
  • 同向相干波源 ($\varphi_2=\varphi_1,\ \Delta\varphi=\frac{2\pi(r_1-r_2)}{\lambda}=\frac{2\pi}{\lambda}\delta$): $\delta=r_1-r_2=\begin{cases} k\lambda &合振幅最大\\\ (2k+1)\frac{\lambda}{2} &合振幅最小 \end{cases}\ (k=0,\pm1,\pm2,\ldots)$
• 驻波方程: $y=(2A_0cos\frac{2\pi x}{\lambda})cos(\omega t)$
  • 波腹: $x=k\frac{\lambda}{2}\quad k=0,\pm1,\ldots$
  • 波节: $x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}\quad k=0,\pm1,\ldots$
• 半波损失：垂直疏到密

# 光学

• 双缝干涉明暗条纹: $\begin{cases} x=\pm k\frac{D\lambda}{d} &(k=0,1,2,\ldots) \ 明纹 \\\ x=\pm (2k+1)\frac{D\lambda}{2d} &(k=0,1,2,\ldots)\ 暗纹 \end{cases}$
  • 相邻明纹暗纹间距: $\Delta x=\frac{D}{d}\lambda$
  • 光强: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\varphi\quad \Delta\varphi = \frac{2\pi\delta}{\lambda}$
• 等倾干涉条纹: $\delta=2d\sqrt{n^2-n_1^2sin^2i}+\frac{\lambda}{2}=\begin{cases} k\lambda &k=1,2,3,\ldots \ 明纹\\\ (2k+1)\frac{\lambda}{2} &k=0,1,2,\ldots \ 暗纹\end{cases}$
  • 增透膜: $2nd=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\quad k=0,1,2,\ldots$
• 等厚干涉条纹: $\delta=2d+\frac{\lambda}{2}=\begin{cases} k\lambda &k=1,2,3,\ldots \ 明纹\\\ (2k+1)\frac{\lambda}{2} &k=0,1,2,\ldots \ 暗纹\end{cases}$
  • 相邻明纹 / 暗纹间距: $l=\frac{\lambda}{2sin\theta}\approx \frac{\lambda}{2\theta}$
  • 牛顿环半径: $r=\begin{cases}\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2}} &k=1,2,3,\ldots \ 明纹\\\ \sqrt{kR\lambda} &k=0,1,2,\ldots \ 暗纹 \end{cases}$
• 单缝的夫琅禾费衍射:
  • 条纹: $\delta=asin\theta=\begin{cases} \pm k\lambda & 暗纹\\\ 0 &中央明纹\\\ \pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} & 明纹\end{cases}\quad k=1,2,3,\ldots$
  • 半角宽度: $\theta_k\approx sin\theta_k=\begin{cases}\pm 2k \frac{\lambda}{2a}& 暗纹\\\ \frac{\lambda}{a}& 中央明纹的半角宽度\\\ \pm(2k+1)\frac{\lambda}{2a}& 明纹\end{cases}\quad k=1,2,3,\ldots$
  • 半宽度: $x=D\theta_k$
• 圆孔的夫琅禾费衍射:
  • 第一级暗环衍射角: $\theta_1\approx sin\theta_1=0.61\frac{\lambda}{r}=1.22\frac{\lambda}{d}$
  • 艾里斑线半径: $R=1.22\frac{\lambda}{d}f$
  • 分辨率: $R=\frac{1}{\theta_R}=\frac{d}{1.22\lambda}$
    • 显微镜: $R=\frac{1}{\Delta y}=\frac{nsinu}{0.61\lambda}$
• 光栅衍射:
  • 光栅方程: $(a+b)sin\theta=\pm k\lambda \ 明纹 \ (k=0,1,2,\ldots)$
  • 缺级: $k=\frac{a+b}{a}k'\quad k'=\pm1,\pm2,\pm3,\ldots$
  • 最大级数: $k_{max}=\frac{a+b}{\lambda}$
• X 射线的衍射:
  • 布拉格公式: $2dsin\theta=k\lambda\quad k=1,2,3,\ldots$
• 偏振:
  • 马吕斯定律: $I_2=I_1cos^2\alpha$
  • 布儒斯特定律 (起偏角$i_B$ 叫布儒斯特角): $tan i_B=\frac{n_2}{n_1}$
  • 入射角等于布儒斯特角时: $i_B+r=90^\circ$，反射光只有垂直于入射面的振动，折射光仍为部分偏振光

# 静止电荷的电场

• 电荷量：$e = 1.602 \times 10^{-19}c$

• 库仑定律：$\vec{F_{12}} = - \vec{F_{21}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^2} \vec{e_{r_{12}}}$

• 电场强度：$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{e_r}$

• 电偶极矩（电矩）：$\vec{P_e}=q\vec{l}$

• 连续带电体的电场

  • 体：$\vec{E}=\int\frac{\rho}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e_r}dV$
  • 面：$\vec{E}=\int\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e_r}dS$
  • 线：$\vec{E}=\int\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e_r}dL$
  • 无限长带电直线：$E = E_y = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0a}$
  • 均匀带电圆环：$E=\frac{qx}{4\pi \varepsilon_0(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
  • 均匀带电薄圆盘：$E = \frac{\rho}{2\varepsilon_0}[1-\frac{x}{(R^2+x^2)^\frac{1}{2}}]$

• 电场强度通量：$\Psi_E=ES\cos{\theta}=\iint\limits_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}$

• 高斯定理：$\oiint\limits_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum\limits_i q_i$

• 电势：$V_M = \frac{W_M}{q_0}=\int_M^\infin \vec{E}\cdot d\vec{l}$

• 电势差：$V_{MN} = \int_M^N \vec{E}\cdot d\vec{l}$

• 电势梯度：$gradV = \frac{dV}{dn}\vec{e_n}=-\vec{E}$

• 静电平衡时外表面电荷：$\vec{E_表}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{e_n}$

• 孤立导体电容：$C=\frac{Q}{V}$

• 电容的串联和并联：

  • 串联：$\frac{1}{C_串}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\dots+\frac{1}{C_n}=\sum\frac{1}{C_i}$
  • 并联：$C_并=C_1+C_2+\dots+C_n=\sum C_i$

• 平行板电容器：$C=\frac{\varepsilon_rS}{d}$

• 电极化强度：$\vec{P}=\frac{\sum \vec{p}}{\Delta V}$

• 电极化强度与极化电荷的关系：$|\sum\vec{p}|=q'l=PSl \to \sigma'=P$

• 电极化强度与总电场的关系：$\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}$

• 电介质的介电常数 (电容率)：$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r=(1+\chi_e)\varepsilon_0$

• 有电介质时的高斯定理

  • 考虑自由电荷和极化电荷：$\oiint\limits_s\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}(\sum q_0+\sum q')$
  • $\Psi_D=\oiint\limits_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_0$

• 电位移矢量：$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

  • 各向同性均匀介质：$\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}=\varepsilon\vec{E}$

• 电容器静电能：$W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2=\frac{1}{2}Q(V_1-V_2)$

• 电场能量密度：$w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\frac{D^2}{\varepsilon}$

• 非均匀电场：$W=\iiint\limits_V\frac{1}{2}DEdV=\iiint\limits_V\frac{1}{2}\varepsilon E^2dV=\iiint\limits_V\frac{1}{2}\frac{D^2}{\varepsilon}dV$

# 恒定电流的磁场

• 电流：$I=\frac{dq}{dt}$

• 电流密度：$\vec{j}=\frac{d\vec{I}}{dS}$

• 电源电动势：$\varepsilon=\int_B^A\vec{E_k}\cdot d\vec{l}$

• 磁感应强度大小：$B=\frac{F_{max}}{qv}$

• 磁感应强度方向：矢量积$\vec{F_{max}} \times \vec{v}$

• 磁通量：$\Phi = \iint\limits_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$

• 毕奥 - 萨伐尔定律：$d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}$

  • 真空磁导率：$\mu_0=4\pi \times 10^{-7}T\cdot m \cdot A^{-1}$
  • 任意载流导线：$\vec{B}=\int d\vec{B}=\int\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}$
  • 应用：
    • 直导线：$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$
    • 圆线圈：$B=\frac{\mu_0NI}{2R}$
    • 无限长螺线管：$B=\mu_0NI$

• 载流线圈磁矩：$\vec{m}=N\vec{I}\vec{S}$

• 运动电荷产生的磁场：$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times\vec{e_r}}{r^2}$

• 磁场的高斯定理：$\oiint\limits_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$

• 安培环路定理：$\oint\limits_L\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\sum I$

• 洛伦兹力：$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$

• 霍尔效应：$U=R_H\frac{IB}{d}$，$R_H=-\frac{1}{ne}$

• 安培力：$\vec{F}=\int\limits_LI\vec{dl}\times\vec{B}$

• 磁力矩：$\vec{M}=\vec{m}\times\vec{B}$

• 磁力的做功：$A=I\Delta\Phi$

• 有磁介质的安培环路定理：$\oint\limits_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I$，$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$，$\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}$

# 电磁感应和电磁场理论

• 法拉第电磁感应定律：$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}$
• 感应电动势：$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\iint\limits_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$
• 动生电动势：$\varepsilon=\int\limits_L(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}$
• 感生电场：$\oint\limits_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\iint\limits_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$
  • $\varepsilon_{ab}=\varepsilon_i=\frac{dB}{dt}S$
• 自感电动势：$\varepsilon=-L\frac{dI}{dt}$，$L=\frac{N\Phi}{I}$
• 互感电动势：$\varepsilon_{21}=-M\frac{dI_1}{dt}$ $\varepsilon_{12}=-M\frac{dI_2}{dt}$，$M=\frac{\Phi_{12}}{I_2}=\frac{\Phi_{21}}{I_1}$
• 自感和互感的关系：$M=k\sqrt{L_1L_2}$
• 磁场能量：$W_m=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\iiint\limits_VBHdV$
• 磁场能量密度：$w_m=\frac{W_m}{V}=\frac{1}{2}\frac{LI_0^2}{V}=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu}=\frac{1}{2}\mu H^2=\frac{1}{2}BH$
• 位移电流：$I_d=\iint\limits_S\vec{j_d}\cdot d\vec{S}=\iint\limits_S\frac{d\vec{D}}{d t}\cdot d\vec{S}$
  • 位移电流密度：$\vec{j_d}=\frac{1}{S}\frac{d\psi_D}{d t}=\frac{d\vec{D}}{d t}$
• 全电流：$I_t=I+I_d$
  • $\oint\limits_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\sum I_t=\sum I+I_d=\iint\limits_S\vec{j}\cdot d\vec{S}+\iint\limits_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$
• 麦克斯韦方程组
  • 电场：$\oiint\limits_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_V\rho dV$
  • 磁场：$\oiint\limits_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$
  • 变化电场：$\oint\limits_L\vec{H}\cdot d\vec{l}=\iint\limits_S\vec{j}\cdot d\vec{S}+\iint\limits_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$
  • 变化磁场：$\oint\limits_L\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\iint\limits_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$

# 量子论

• 光电效应
  • 光子能量：$\varepsilon=h\nu$
  • 爱因斯坦方程：$h\nu=\frac{1}{2}mv^2+A$
  • 遏制频率：$\nu_0=\frac{A}{h}$
  • 截止电压：$\frac{1}{2}mv_m^2=eU_a$
  • 光的波粒二象性：$p=\frac{h}{\lambda}$
• 康普顿效应
  • 康普顿散射公式：$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c}(1-\cos\varphi)=\frac{2h}{m_0c}\sin^2\frac{\varphi}{2}$
• 玻尔氢原子理论
  • 基本假设：
    1. 定态假设
    2. 跃迁假设
    3. 角动量量子化假设：$L=mvr=n\frac{h}{2\pi}$
  • 计算
    • 半径：$r_n=\frac{\epsilon_0h^2n^2}{\pi m e^2}=r_1n^2$
    • 轨道能量：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}=-\frac{E_1}{n^2}$
    • 辐射频率：$\gamma_{nk}=\frac{E_n-E_k}{h}$
• 物质波
  • 德布罗意公式：$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$，$v=\frac{E}{h}=\frac{mc^2}{h}$
• 不确定关系
  • 海森堡不确定关系：$\Delta x\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2}$
  • 光子动量不确定度：$\Delta p=|-\frac{h\Delta\lambda}{\lambda^2}|=\frac{h}{\lambda^2}\Delta\lambda$
• 波函数：$\Psi(x,t)=\Psi_0e^{-i2\pi(vt-\frac{x}{\lambda})}=\Psi_0e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-px)}$
  • 必需满足的条件：
    1. 单值性
    2. 有限性
    3. 连续性
  • $|\Psi|^2$：概率密度
  • 薛定谔方程：$[-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})+V(\vec{r},t)]\Psi(\vec{r},t)=i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{r},t)}{\partial t}$